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By Emily Coddington

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A (Terse) Introduction to Linear Algebra (Student Mathematical Library)

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The Role of Mathematics in Physical Sciences: Interdisciplinary and Philosophical Aspects

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Wir kehren zurück zur Betrachtung eines beliebigen metrischen Raumes ffi. Sei a ein Punkt, meine nicht leere Punktmenge aus ffi. Für jeden Punkt b von m denken wir uns den Abstand r(a,b) gebildet. Die untere Schranke der M enge aller dieser r (a, b) bezeichnen wir Kap. I, § 1. Metrische Räume. 55 als den Abstand r(a,58) oder r(58,a) des Punktes a und der Menge 58. Sind Wund 58 zwei nicht leere Punktmengen eines metrischen Raumes, so denken wir uns für je den Punkt a von Wund je den Punkt b von 58 den Abstand r(a, b) gebildet.

Die Menge aller rationalen Punkte eines Intervalles des ffi" ist abzählbar-unendlich. In der Tat, nach Einleitung § 2, Satz VI und II ist (wenn an< bJ die Menge aller einer der Ungleichungen (1), (2), (3) genügenden rationalen x k abzählbar-unendlich. Satz IX, § 2 der Einleitung ergibt daher die Behauptung. Ordnen wir jedem Punkt (Xl' X2, ... , X,,) des ffi k den Punkt (Xl' x 2 ' . . , Xk-l) des ffi k - 1 zu, so wird dadurch jede Punktmenge m: des ffi k abgebildet auf eine Punktmenge m des ffi k - 1 , die die Projektion von m: in den ffi k -- 1 der Punkte (X X 2 "",Xk-l) heißt.

Es ist r(W,58) die untere Schranke der Abstände r (a, m) der Punkte a aus W von der Menge m. In der Tat, sei g diese untere Schranke. Dann ist, zufolge der Definition von r(a, 58): r(a,b»g für alle a aus W und alle baus 58, und mithin auch (0) r(w,m»g. Zu jeder Zahl z> g gibt es ferner ein a in W, so daß: r(a, m) g galt, (00) auch: r(W, m)

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